时间序列分析
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2025-05-18
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1. 时间序列模型
1.1. 时间序列
什么是时间序列呢？在前面的章节，数据集是如下形式的
序号
（特征）
（特征）
（特征）
（标签）
？
每个样本由一些特征（）和标签（）构成，通常假设样本之间（ ）是相互
独立的，而标签与特征之间存在相关性，通过构建线性回归、支持向量机、回归树等模型来
表达标签与特征之间的某个相关性，如 ，从而达到给定样本特征的情况下来预测样
本的标签，例如样本。这类数据集通常和时间是无关的或者在构建模型时并不考虑与时间
的关系。通常使用符号 或 表示
含有个样本的数据集。
在现实世界中，有很多数据是与时间紧密相关的，而且样本之间存在很强的相关性，例
如每隔小时测量的实验室温度，数据集如下
序号
测量时间
温度（℃）
？
可以看到，每个温度值是在某个时间点测量得到的，该值与时间点是相关的；温度之间存在
一定的相关性，因为不大可能温度从℃骤变为℃。类似这样按时间顺序收集的一组
数据被称为时间序列数据（Time Series Data）或时间序列（Time Series），还有很多这样的
例子，通常可以使用折线图来可视化时间序列数据，横轴表示时间，纵轴表示该时间点上的
值，例如股票价格时间序列数据的使用折线图可视化如下
图 股票价格
根据不同的分类依据，时间序列有不同的分类。按照研究对象可以分为一元时间序列
（Univariate Time Series）和多元时间序列（Multivariate Time Series）。一元时间序列是
指一个时间点上只有一个值，例如上述每隔小时测量的温度时间序列；多元时间序列是指
一个时间点上有多个值，例如每个小时测量温度、湿度等多个值的时间序列。按时间属性
可以分为离散时间序列（Discrete Time Series）和连续时间序列（Continuous Time Series）。
离散时间序列是指时间点是离散的时间序列，例如每天的销售量时间序列，时间点的集合是
每天的日期的集合，是离散的，因此属于离散时间序列，一般地，离散时间序列的时间通常
与周期有一定的关系，例如分钟，小时，天，月，季度，年等；连续时间序列是指时间点是
连续的，例如实验室的温度，事实上连续的每个时间点上都对应一个温度值。只不过仪器每
隔小时测量得到数据，它可以看成是对连续时间序列进行抽样得到的离散时间序列，连续
时间序列在理论上有很重要的研究意义。按照时间序列的特性可分为平稳时间序列
（Stationary Time Series）和非平稳时间序列（Nonstationary Time Series）。平稳时间序
列是指其统计性质（如均值、方差、协方差等）不随时间变化而变化。换句话说，平稳时间
序列在不同的时间点上表现出类似的行为，没有明显的趋势或季节性变化。非平稳时间序列
是指其统计性质随时间变化而变化，这意味着数据的均值、方差或协方差等随着时间的推移
而发生变化，可能表现出趋势、季节性或其他类型的波动。
图 平稳时间序列
图 非平稳序列
如图所示，虽然平稳时间序列在每个时间点上的值可能不同，但它们的期望等统计性质并没
变化，例如期望为。非平稳时间序列不仅在每个时间点上的值不同，而且它们的期望等统
计性质也随时间变化而变化。后面将从数学角度，给出平稳时间序列严格的定义。
从数学上如何描述和表达时间序列数据呢？我们看到，一个时间序列有两个要素需要描
述：一个是时间点，另外一个是时间点上的一个值或多个值。因此对于一个一元时间序列可
以表示为 ，或者简记为 ，其中是时间点的集合，表示时间点对应
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1.时间序列模型1.1.时间序列什么是时间序列呢？在前面的章节，数据集是如下形式的序号�1（特征1）�2（特征2）�3（特征3）�（标签）112.1112.71.1132.125.6212.02.3222.0334.5152.10.1192.7414.552.10.9？每个样本由一些特征（�1,�2,�3）和标签（�）构成，通常假设样本之间（�1,�2,&#...
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