矩阵微分

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矩阵微分

标量-标量微分

我们从一个例子说起。假设一个物体做匀加速直线运动，它的速度和时间的关系为

，也就是说在时速度为，时，速度为，速度随着时间的

推移均匀增加，每隔增加。物体运动后在某个时间点一定位于某个位置上，因此位

置也是时间的函数，假设为，例如在时，物体的位置为等等。当从时间

到时间，物体的位置从变为，物体发生的位移为，使用的

时间为，因此可以得到物体在这段时间内的平均速度等于位移除以时间，即







这个平均速度和在的瞬时速度有什么关系呢？首先平均速度表示的是物体在一段时间

内速度的平均水平，而瞬时速度表示的是物体在某一个时刻的速度。显然有

，物体在的瞬时速度为，在 的瞬时速度为=



，当时间间隔非常小时，，因此，这说明当时间间

隔非常小时，这段时间内的平均速度与瞬时速度相等。即





 

这个极限被称为位置函数关于时间的导数，记作

或，其中表示时间的微小变化，

表示位置的微小变化，即 







该导数的含义是当自变量发生微小变化时，因变量的变化率（位置发生的微小变化除以时

间的微小变化）。这个变化率正好是瞬时速度。显然如上导数也可以写成如下形式



该式称为导数的微分形式。

能否给出位置函数的表达式呢？从时刻到时刻，物体的位置从变为，这段时

间发生的位移为，我们将这段时间间隔分成等份，每个等份的时间间隔为，第

个时间等份发生的位移为，其中表示第个时间等份的平均速度，第个时间等份

开始时的瞬时速度为

，当等份足够多时，平均速度等于瞬时速度，因此

，

得到位移





当等份足够多时，物体发生的总位移等于所有等份位移之和









该式被称为积分，记作



，表示从时刻到时刻，发生的位移的累积。由导数的微分形

式，有













称为的不定积分，

容易计算







 







 





这表示











因此得到物体在任何时间的位置函数 

通常假设物体开始时候的位置为，得到。现在来看它的导数







 



 



 

正所谓“不积跬步，无以至千里”，一个个步子按照时间累积而成千里，而导数恰恰与

其相反，它关注的是千里路程每个时间点的步子变化。积分和微分存在可逆的关系，积分从

宏观表示，微分从微观来表示。即

 

上面讨论的是一元函数的微分，对于多元函数，例如。如何定义微分呢？

标量-标量微分的性质

（1）假设，其中是一个常数，则





（2）假设都是的函数，则两个函数的和或差的导数为



 





（3）假设都是的函数，则两个函数的乘积的导数为



 





（4）假设都是的函数，则两个函数的商的导数为



 







（5）假设是关于自变量的一元函数， 是的函数，则复合函数的导数

为 

 





标量-向量微分

标量-向量微分是指自变量是一个向量，因变量是一个标量的函数的微分。假设

，是向量的函数，即

 

它是我们熟悉的多元函数，当自变量为维时，称为元函数。多元函数的输入是一个向量，

每个分量表示一个自变量，而因变量是一个标量，例如是一个二元函

数。

多元函数对的导数记作

 或

，它等于函数对向量的每个分量求偏导数，即









 





























这里给出了两种形式，关于求导有两种布局约定，一种称为分子布局（Numerator Layout），

一种称为分母布局（Denominator Layout），所谓分子布局是指求导结果是一个

分子维度



分母维度

的张量；分母布局则相反，求导结果是一个

分母维度



分子维度

的张量。

标量-向量微分的分子维度为，分母维度为。如果采用分子布局，求导结果是一个

的行向量，如果采用分母布局，求导结果是一个列向量。分子布局的求导结果是我们

熟悉的梯度向量，梯度向量在数学中通常写成行向量形式，因此本书采用分子布局。

例：对于二元函数，它关于向量的导数为









标量-向量微分的性质

（1）假设，其中是一个常数，则





（2）转置不变性：假设是一个元函数，则关于与其转置的导数是相等的，即







（3）假设都是的元函数，则两个函数的和或差的导数为



 





（4）假设都是的元函数，则两个函数的乘积的导数为



 





（5）假设都是的元函数，则两个函数的商的导数为



 







（6）假设是关于自变量的一元函数， 是的元函数，则复合函数的

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摘要：

矩阵微分标量-标量微分我们从一个例子说起。假设一个物体做匀加速直线运动，它的速度和时间的关系为ߘ(ߖ)=Ϻߖ(ߍߏʆߕ)，也就是说在ߖ=ϸ时速度为ϸ，ߖ=Ϲ时，速度为Ϻߍߏʆߕ，速度随着时间的推移均匀增加，每隔Ϲߕ增加Ϻߍߏʆߕ。物体运动后在某个时间点一定位于某个位置上，因此位置也是时间的函数，假设为ߕ(ߖ)，例如在ߖ=ϸ时，物体的位置为ߕ(ϸ)等等。当从时间ߖ஻=ߖ到时间ߖ஼=ߖ+хߖ，物体的位置从ߕ(ߖ஻)变为ߕ(ߖ஼)，物体发生的位移为ߕ(ߖ஼)−ߕ(ߖ஻)，使用的时间为ߖ஼−ߖ஻=хߖ，因此可以得到物体在这段时间内的平均速度等于位移除以时间，即ߘԭ=ߕ(ߖ஼)−ߕ(ߖ஻)ߖ஼−ߖ஻=ߕ...

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